Лекция 2. Реакторы для очистки воды

Реактор – общее понятие, обозначающее естественный или искусственный водоем либо резервуар, в который может поступать вода и, далее, отводиться из него. В результате одной или нескольких биогеохимических реакций в реакторе, характеристики жидкости на выходе становятся отличными от исходных.

Реактор должен характеризоваться:

• Гидравлическими параметрами
• Типом реакций, протекающих в нем (химические, биологические или физические)
• Размерностью (количеством независимых параметров, необходимых, чтобы построить математическую модель реактора)

Также необходимо определить динамику реакций. Существуют следующие типы реакций:

• Одноступенчатые:
  A\to \text{не}A
  A+B\to C+D
• Двухступенчатые:
  A+B\to E+F \text{(}\text{медленная}\text{)}
  E+F\to C+D \text{(}\text{быстрая}\text{)}

Не все системы могут достигнуть необходимого результата (когда система из состояния слева от стрелки целиком перешла в состояние справа от стрелки и её параметры не меняются со временем), что особенно характерно для процессов водоочистки. Если протекающая реакция не приводит систему к результату достаточно быстро (за срок, меньший, чем время пребывания жидкости в реакторе), нам необходимо узнать кинетику системы, чтобы рассчитать её результат (другими словами – степень очистки).

Типы кинетики

а. Реакции первого порядка

Скорость реакции пропорциональна концентрации: \frac{dC}{dt}=-KC

• K – константа скорости реакции первого порядка [1/c]
• C – концентрация (масса на единицу объёма).

\frac{dC}{C}=-Kdt

Проинтегрируем:

• \int \frac{dC}{C}=\ln C=\int -Kdt=-Kt
• \ln C=-Kt+const
• C=e^{-Kt+const}=e^{const}{e}^{-Kt}=C_0{e}^{-Kt}

b. Реакции второго порядка

Реакции, включающие два типа реагирующих веществ А и В.

• \frac{d{C}_{А}}{dt}=-K{C}_{А}{C}_{В}
• \frac{d{C}_{В}}{dt}=-K{C}_{А}{C}_{В}

K – константа скорости реакции первого порядка [л/(моль·с)].

Если C_B\gg C_A тогда: \frac{d{C}_{А}}{dt}\approx -K\text{'}{C}_{А}, где:

• K^{\text{'}}=K{C}_B – псевдоконстанта скорости реакции первого порядка [1/c]
• K{C}_B – фактически постоянна, по крайней мере, по отношению к C_{А}

c. Реакции нулевого порядка

Скорость реакции не зависит от концентрации реагирующих веществ. Это характерно, например, для каталитических реакций, где скорость зависит от концентрации катализатора.

Виды реакторов

Простейшим видом реакторов является реактор смешения, по другому называемый «резервуар-реактор непрерывного смешения».

Условное обозначение:

Реактор идеального смешения имеет одинаковую концентрацию реагирующих веществ по всему своему объёму – поступающая в реактор жидкость перемешивается мгновенно и полностью.

Баланс массы для реактора смешения:

• m\left(t\right) – масса поступающей в реактор жидкости в единицу времени = {QC}_{in},
• \forall– объём реактора,
• Q – отток из реактора (объём в единицу времени),
• C – концентрация полностью перемешанного вещества внутри реактора (масса на единицу объёма),
• K – константа скорости реакции первого порядка [1/c].

m\left(t\right)- CQ= cK\forall + \frac{dC}{dt}\forall где:

• m\left(t\right) - поступающая масса в единицу времени
• CQ - отводящаяся масса в единицу времени
• cK\forall - удалённая масса
• \frac{dC}{dt}\forall - изменение массы в резервуаре

\frac{m\left(t\right)}{\forall }-C\frac{Q}{\forall }=CK+\frac{dC}{dt}
t_R=\frac{Q}{\forall } – время пребывания в реакторе.

\frac{dC}{dt}+С\left(K+\frac{1}{t_R}\right)=\frac{m\left(t\right)}{\forall }

Точечный впрыск («скачок» массы)

Для математического описания воздействия точечного впрыска используется дельта-функция Дирака.

• \delta \left(t-t_0\right)
• {\int }_0^{\infty }\delta \left(t-t_0\right)dt=1
• \delta \left(t-t_0\right)=0 t\ne t_0
• \delta \left(t-t_0\right)=0 t=t_0

Найдём решение для впрыска при t=t_0=0

C\left(t\right)=\frac{M}{\forall }exp-(Kt+\frac{t}{t_R})

C_0=\frac{M}{\forall }, концентрация в момент t=0

C\left(t\right)=C_{0}exp-(Kt+\frac{t}{t_R})

При Q=0, { t}_R\to \infty , C\left(t\right)=C_0{e}^{-Kt} – так называемый «периодический реактор» (вещества не попадают в реактор в ходе реакции и не удаляются из него до её окончания).

При К=0, C\left(t\right)=C_0{e}^{-t/t_R} – опорожнение резервуара.

Отношение скорости реакции и обновления воды в реакторе можно определить параметром KtR – числом Дамкёлера:C\left(t\right)=C_{0}exp-\left(Kt+\frac{t}{t_R}\right)=C_{0}exp-\left(K{t}_R\frac{t}{t_R}+\frac{t}{t_R}\right)=C_{0}exp-\left\{\frac{t}{t_R}(K{t}_R+1)\right\}

Большее значение K подразумевает более быстрое убывание концентрации со временем, см. график. Следует обратить внимание, что при K=0, \frac{C}{C_0}=\mathrm{0,38} в этот момент t=t_R – большая часть массы покидает систему до истечения номинального времени пребывания. Многие очистные сооружения и естественные водные объекты могут быть описаны как реакторы смешения.

Поведение реактора полного смешения при точечном впрыске: